Euskaldunen infinitoa hamaikan hasten da. Hamarretik gora hatzik gabe geratu eta ezin dugu gehiago kontatu: behatzak urrunegi ditugu antza. Bestela, “hogeitabat ikusteko jaioak gara” esango genuke.
Kontatzea erraza da [1]: zerbaiten multzo bat badugu (behiak, hodeiak, harea-aleak…), banaka-banaka zenbatzen ditugu multzo horren osagaiak, eta kitto, beti lortuko dugu osagaien kopurua ematen digun zenbakia. Nola dakigu bi multzo ezberdinek elementu-kopuru berdina dutela? Multzo bateko elementu bakoitza, beste multzoaren elementuekin parekatzen ditugu, banaka-banaka. Adibidez: behi bat harea-ale batekin; beste behi bat beste ale batekin, eta abar. Eta multzo (finitu) bateko elementu bakoitzarentzat beste multzoan elementu bat topatzen badugu, eta ez gehiago, orduan bi multzoek elementu-kopuru berdina dute. Azpimultzoak ere define daitezke. Adibidez, behi beltzak edo 1 mm-ko erradioa duten hare-aleek “behi-en eta “harea-ale”-en multzoetako azpimultzoak dira. Azpimultzo propioak, hasierako multzo osoa baino elementu gutxiago duten azpimultzoak dira.
Kontzeptu ederra da infinituarena: zeinahi kopuru baino balio handiagoa duena da “infinitu” hori. Zenbaki oso eta positiboak infinituak direla dakigu: 1,2,3… Beti topa dezakegu zenbaki bat baino handiagoa den beste zenbaki bat. Kontatzearekin estuki lotuta egon arren, infinituarekin aritzean ohizko arau algebraikoak ezin dira edonola erabili. Zenbat da infinitu ken infinitu? Segun.
Edo, elementu kopuru infinitua duten bi multzok, elementu kopuru bera al dute? Batek daki. Bai, badago hori dakien bat: Georg Cantor matematikari errusiarra.
Galdera erraza edo erraza dirudien galdera erantzun zuen hark: zeinek du elementu gehiago, (1,2,3…) zenbaki oso eta positiboen segidak edo (2, 4, 6 …) zenbaki oso bikoiti eta positiboen segidak?
Boteprontoan, nik behintzat, (1,2,3…) segidak (2,4,6…) segidak baino elementu gehiago dituela erantzungo nuke. Izatez, (2,4,6…) segida (1,2,3…) segidaren azpimultzo propio bat da. Baina pilotan banebil, boteprontoan bai, baina atxiki!
Zergatik huts? Segidak parekatzen baditugu: 1 <> 2, 2 <> 4, 3 <> 6, 4 <> 8… bi segidek elementu kopuru berdina dutela ikusten dugu: segida baten elementu bakoitzari beste segidako beste elementu bat parekatu diezaiokegu, beti. “Osoa, osagai bakoitza baino handiagoa da”… infinituarekin ez bagabiltza bederen.
Antzerako metodo bat erabilita, zenbaki arrazionalak (a/b, non a eta b zenbaki osoak diren) eta zenbaki osoak elementu-kopuru bera dutela frogatu zuen Cantorrek ere. Emaitza harrigarria, 1,2 zenbaki osoen artean nahi beste zenbaki arrazional topa ditzazkegulako jada: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 2/3, 19/237… Maria Ostizek abesten zuen bezala, “batzutan Cantorrek arrazoi” [2].
Hortaz, infinitu guztiak berdinak al dira, elementu-kopuru berdina al dute? Ba ez [3,4], beharbada infinitu infinito daudelako.
[1] Erraza da… edo zen. Testu hau orrazten nagoela, Nora Barroso Morenoren sarrera interesgarri hau topatu dut Elinberrin bertan: http://www.elinberri.eus/2020/01/31/matematikak-fikziozko-mundu-anitzak/
[2] https://youtu.be/opFaGt6xpMw
[3] Gaia liluragarria da baina konplexuegia testu motz batean laburtzeko. Gaia “What is Mathematics?”- (egileak: Richard Courant eta Herbert Robbins) aipatzen da, adibidez. Liburu zoragarria da benetan, matematikaren oinarrizko kontzeptu asko maisutasunez irakasten dituena.
[4] Wikipedian ere nahi beste (baina ez infinitu) informazio dago gaiari buruz. Ikus, adibidez: https://en.wikipedia.org/wiki/Countable_set