Galdera arruntenek eragin dezakete erantzunik oparoena. Ipuinetan moduan, bazegoen hiri bat, Königsberg, zazpi zubi zituena, 1. irudian bezalaxe antolatuta.

1. irudia: Königsberg-eko zazpi zubiak.

 

Bazegoen matematikari bat, Euler, milaka galdera zituena. Horietako bat, hauxe zen: ba al dago modurik Königsberg-eko hirian zehar osteratxo bat egiteko zazpi zubi horiek behin bakarrik zeharkatuz?

Edozeini, zazpi zubiak zeharkatzearena, bost axola. Izatez, erantzunak ez zuen berebiziko garrantzirik [1] baina Eulerren erantzuna aurkitzeko era guztiontzat da baliagarri, grafoen teoria deritzon matematikaren adarra sortu baitzuen horrela. Eulerrek problema ahal beste sinplifikatu zuen. Hirian zehar nola zabiltzan, zein taberna, kale, denda edo bestelakotatik pasatzen zaren, ez dio ardura. Baina zubiak zein ordenatan gurutzatzen dituzun, bai. Sinplifikatzen hasita, hiriko atal, gizaki, alkate eta zinegotzi, iturri, kale, dendari, zuhaitz, uso eta bestelakoak, guztiak, puntu bakarretan uzkurtu zituen eta zubiak, marra ziztrinekin marraztu. Hona hemen Königsberg hiri sinplifikatu-berritu-aspertua: erpinak (hirien atal ezberdinak) eta ertzak (zubiak), akabo. Ikus 2. Irudia. Orain, etxeko lasaitasunean soluzio bila hasi zaitezke erraz, arkatza edo hatza eskuan. Eta ez, ez dago modurik osteratxoa egiteko zubi bakoitza behin bakarrik zeharkatuz.

2. Irudia: Königsberg sinplekeriarik gabe, Eulerrek ikusten zuen bezala.

 

Puntu batean (erpinetan) dena kabitzen denez, jarri nahi duzuna bertan, etxebizitzak kasu. Eta izan bitez ertzak etxebizitza batetik beste batera joateko bideak. Horra hor Olentzeroren problema sinplifikatua, baina oraindik ere, ebazten zaila [2]. Edo ordenagailuak eta euren arteko sarea: nola egin behar da sare hori ahalik eta sendoena izan dadin (hau da, ordenagailu bat puskatzen bada, sarea ez dadin bertan behera geratu)? Bestelako kontuak: zenbat etxeko giltza behar ditugu eta non kokatu giltza bat galdu ezkero beste bat aukeran izateko? Irudika ezazu grafo bat eta agian jakingo duzu nola ez geratu kalegorrian, euripean. Edo, zein da kolore kopuru minimoa mapa bateko herrialdeak margotu ahal izateko eta herrialde bateko inguruko herrialdeek kolore ezberdinak izan ditzaten? Edo interesgarriagoa oraindik: Errealak liga irabazi zueneko jokalarien lagunen eta lagunen seme-alabek, zuk, Satzendak, eta Jahangir Khan zein den dakitenek (Wikipedian begiratu barik!), zenbat lagun dituzue amankomunean? Hori dena eta gehiago, grafikoen teoria erabiliz jakin daiteke.

Esan bezala, Eulerren pentsatze-moduak grafoen teoria ekarri zuen. Hori izan zen garrantzitsuena, metodoa eta haren orokortasuna, ez erantzun berezia. Zubi kontuekin hasitakoak izugarrizko zubiak eraiki ditu arlo ezberdinen artean (izan hortaz kontu zubi bat puskatu baino lehen, Königsberg-ekoa, Kwairen gainean zegoena, edo Txankakuakoa dela, zer egiten duzun eta zergatik). Gaur egun, normalean zuzenean ikusten ez dugun arren, edonon dago grafoen teoria, edozein arlotan. Elkarsaren, linguistikan, biologian, fisikan, soziologian, supermerkatuetan, sare elektrikoan, kotxeko GPSan, telefonian… Algoritmo ugari garatu dira zein den biderik motzena kalkulatzeko, biderik existitzen den jakiteko, puntuen arteko erlazioak nolakoak diren antolatzeko… Grafoen “sinplifikazioak” zenbat ariketa matematiko eta puntuen arteko erlazioak, algoritmo egokiak erabilita sekulako abiaduran egitea gaitzen du. Horregatik (neurri batean), horren azkarra izan daiteke Google edo edozein bilatzaile. Eta arestian aipatu bezala puntu batean edozer jarri daitekeenez pentsa puntu izan zaitezkeela erpin eta ertzez beteriko datu-base erraldoiren batean eta beharbada argiago ikusiko duzu zergatik heltzen zaizkizun “zuri bereziki” zuzendutako iragarki propagandistikoak.

Jesarrita edo ibiltzen, badago modu asko zubiaren problemaren erantzuna topatzeko. Gizon praktikoa, ibiltzen hasiko zen berehala. Eulerrek zer egin zuen? Asko pentsatu eta erantzun bat aurkitu. Halere, zubien problemaren konponbiderik azkarrena, argiena, errazena eta lasterrena pragmatikotasun eibartarrak topatu zuen: erreka porlanez tapatu eta kitto!

——————————-

[1] Ezta, esango nuke, Königsberg -en bertan bizi zirenentzat ere, Immanuel Kant adibidez. Kant egunero irtetzen omen zen paseatzera, beti ordu berean, beti leku beretik. Oker ez banago, bere testuetan era ez du zubiaren problema aipatzen. Agian harek bazekien zein zen erantzuna eta ez zen arduratu hura frogatzen edo aztertzen. Zertarako? Hau bai hau galdera metafisikoa.

[2] http://www.elinberri.eus/2020/01/10/olentzero-joan-zaigu/